Sisteme dinamice vs. sisteme matematice


Un sistem dinamic real este orice obiect care se schimba in timp.
Un sistem dinamic matematic este o structura matematica abstracta care poate fi folosita pentru descrierea schimbarii sistemului real ca o evolutie printr-o serie de stari.(Ceea ce inseamna ca numai sistemele dinamice reale sufera schimbari; sistemele dinamice matematice sunt atemporale,entitati neschimbatoare ce pot fi totusi folosite ca modele ale schimbarii sistemelor reale.)
Daca evolutia sistemului real este determinista , adica, daca starea la oricare moment temporal viitor este determinata de starea prezenta , atunci structura matematica abstracta consta din trei elemente. Primul element este un set T care reprezinta timpul. Elementele lui T pot fi portiuni reale, rationale , integrale, sau non-negative ale structurii. In dependenta de alegerea lui T, timpul va fi reprezentat ca discret, continuu, sau dens. Al doilea element este un set nonvid M ce reprezinta toate starile posibile prin care poate evolua sistemul ; M este numit spatiul starilor (sau spatiul fazelor) sistemului. Al treilea element este un set de functii {gt} care ne spune starea sistemului la orice moment instantial t a lui T, daca ne este data starea initiala . De exemplu , daca starea initiala este elementul x a lui M, starea sistemului la momentul t este data prin gt(x), starea la timpul w>t este data prin gw(x), etc. Functiile din setul {gt} trebuie sa satisfaca doua conditii. Prima, functia g0 trebuie s-o ea fiecare stare pentru ea insasi, deorece starea de la momentul 0 cand starea initiala este x este in mod evident x insasi.
A doua, compozitia a oricaror doua functii gt si gw trebuie sa fie egala cu functia gt+w, deoarece evolutia pana la momentul t+w poate fi intotdeauna gandita ca doua evolutii succesive, prima pana la momentul t, si a doua pana la momentul w. O subclasa importanta a sistemelor dinamice matematice este aceea a sistemelor ce evolueaza in timp discret.