CINEMATICA DEFORMATIILOR FINITE
1.1.Marimi fundamentale ale deformatiei totale
Utilizam notatiile: B si S -varietati diferentiabile;
X punct în B;
x punct în S;
spatiile tangente;
sistemele de coordonate pe varietatea B,respectiv pe S;
baze în spatiile tangente;
b
aze d
uale lui .
Vom utiliza spatiile Riemann pe varietatile B si S si anume {B,G},{S,g},unde tensorii metrici G si g sunt definiti astfel: G:TB

si g:TS
,unde TB si TS sunt dualele fibratului tangent(adica fibratul cotangent).
Definim tensorul metric prin (X)=
si analog definim tensorul metric prin ,unde sunt produsele interne standard pe B,respectiv pe S.
Fie x=F(X,t) o miscare regulata, atunci este o configuratie actuala a lui B în S.Tangenta lui F e notata prin F si se numeste gradientul deformatiei.Astfel F=TF.Pentru X
,fieF(X) restrictia lui F la .Astfel : F(X,t):

este o transformare liniara pentru fiecare X
si t
R.Pentru fiecare X
,exista atunci o transformare ortogonala R(X):
astfel încât F=R
U=V
R,unde U si V opereaza fixând spatiul tangent.Pentru fiecare X
,U(X):
si pentru fiecare x
,V(x):
.
Tensorul deformatiei materiale E:
este definit prin 2E=C-I,unde I este identitatea pe ,iar C=F
.
Tensorul deformatiei spatiale(eulerian) e:T
este definit prin 2e=i-c, unde
I este identitatea pe T
,iar c=b
si b=F F
=V
.Acesti tensori pot fi redefiniti folosind operatiile de pull-bach si push-forward si anume:
E
=(
(e
), e
=(
(E),
unde
simbolul b reprezinta indicele de coborâre.
Tinând cont de faptul ca x
=(
(X,t),vom avea:
E
=e
,de unde
=
,analog obtinem
=
.
1.2.Deformatii elasto-vâscoplastice finite
Motivata de micromecanica plasticitatii monocristalului se postuleaza o descompunere multiplicativa locala de forma:
F(X,t)=F
(X,t)
F
(X,t).
Se considera o particula X care la momentul t=0 ocupa pozitia X în configuratia de referinta B ,pozitia curenta la momentul t în configuratia actuala S este x=((X,t),iar pozitia în configuratia actuala descarcata S
se noteaza prin y.Avem astfel:
F
:
si F
:
,unde este spatiu tangent la configuratia actuala descarcata S’.Este de notat ca F
si F
sunt transformari liniare.Vom trata spatiul tangent S’ ca un instrument auxiliar care ne ajuta sa definim tensorii deformarii plastice.
Tensorul deformarii plastice E
:T
este definit prin E
=
(C
-I),unde C
=F
F
=U
=B
si E
=E-E
.Analog ,tensorul e
:
este definit prin e
=
(I-c
,unde c
=b
,b
= F
F
=V
si e
=e-e
.Tensorii plastici E
si e
opereaza fixând spatiile tangente.
Este necesar sa comparam relatia F=R U=V
R cu F=F
F
=R
U
R
U
=V
R
V
R
. Urmatoarele diagrame comutative explica situatia.
T
B
U R R
R

R V R
V
R
V

Din a doua digrama este clar ca spatiul tangent T
joaca întradevar un rol auxiliar.Au loc urmatoarele relatii:F
(E
)=e
,F
(e
)=E
.
1.3.Tensorul vitezei de deformatie
Fie F(X,t) o miscare de clasa C
a lui B.Viteza spatiala este v
=V
F
,unde V
=F
,este viteza materiala,v:S
R.
Daca t este un câmp tensorial de clasa C
pe S(posibil dependent de timp),atunci derivata Lie a lui t în raport cu v este definita prin L
t=(
F
t
)
.Daca t
,atunci L
t
.Gradientul vitezei spatiale L este definit prin :
L=Dv:T
,adica L
=v
=

?
v
,unde ?
este simbolul lui Christoffel definit prin metrica g.
Gradientul vitezei spatiale L poate fi exprimat prin:
L=Dv=

=L
L
.
Notând cu d-tensorul vitezelor spatiale de deformatie si cu ?-tensorul spin,unde d=
(L+L
), ?=
(L-L
) observam ca L=d+?.Prin urmare vom avea
L=L
L
=d+?=d
+d
+?
+?
.
Definim tensorul vitezei materiale de deformatie D astfel: D(X,t)=
E(X,t).Avem urmatoarea relatie importanta:
d
=L
e
=F
(F
e
)=F
.Pe de alta parte:
d
,pentru ca L
.
Demonstratia ultimilor relatii:
L

Deci avem:
d

adica partea simetrica a gradientului vitezei L.
Componentele spinului ?=
si d


d
.
1.4. Aplicatie la comportamentul monocristalului
Un principiu fundamental al descrierii comport...