ALGORITMI EVOLUATI DE REGLARE NUMERICA
COMANDA NELINIARA A PENDULULUI INVERS
Cuprins
Introducere
Preliminarii
Ecuatiile sistemului
Functia de transfer
Spatiul starilor
Raspunsul sistemului in bucla deschisa
Functia de transfer
Spatiul starilor
Construirea controller-ului
LQR
Referinta
Construirea observatorului
Introducere
Pendulul invers este o problema clasica de control. Procesul este neliniar si instabil, cu un singur semnal de intrare si mai multe semnale de iesire. Scopul este de a balansa pendulul vertical pe un carucior cu motor.
Figura alaturata reprezinta un pendul invers. Scopul: miscarea caruciorului pe axa x pana la o pozitie dorita fara ca pendulul sa cada. Pozitia caruciorului, x, si unghiul pendulului cu verticala, , sunt masurate si furnizate unui sistem de control. Forta disturbatoare F poate fi aplicata caruciorului.
Preliminarii
M
Masa caruciorului
0.5 kg
m
Masa pendulului
0.5 kg
b
Frecarea caruciorului
0.1 N/m/sec
l
Lungimea pana la centrul de greutate al pendulului
0.3 m
I
Inertia pendulului
0.006 kg*m^2
F
Forta aplicata caruciorului

x
Coordinata pozitiei caruciorului

theta (
)
Unghiul facut de pendul cu verticala

Folosind reglarea cu PID, alocarea de poli sau raspunsul in frecventa se poate controla numai pozitia pendulului. (sistem siso). Se presupune ca sistemul porneste in stare de echilibru, primeste un impuls de 1 N. Pendulul ar trebui sa se revina la pozita verticala in maxim 5 secunde si sa nu oscileze fata de verticala cu mai mult de 0,005 radiani.
Criteriile de performanta ale sistemului:
Revenire in pozitia verticala in mai putin de 5 secunde.
Unghiul pendulului cu verticala sa nu fie mai mare de 0.05 radiani.
Reprezentarea sistemului in timp continuu este recomandata acestei probleme (sistem cu mai multe iesiri). La aplicarea unui semnal treapta caruciorul ar trebui sa ajunga in pozitia dorita in mai putin de 5 secunde, sa aiba un timp de crestere mai mic de 0,5 secunde si pendululsa aiba o limita de oscilare de 20o (0,35 radiani) si sa se stabilizeze tot sub 5 secunde.
Criteriile de performanta ale sistemului folosind metoda variabilelor de stare:
Timpul de stabilizare pentru x si mai mic de 5 secunde.
Timpul de crestere pentru x mai mic de 0.5 secunde.
Oscilarea maxima a pendului mai mica de 20o (0,35 radiani).
Ecuatiile sistemului
Insumand fortele ce actioneaza asupra caruciorului se obtine ecuatia de miscare:
Insumand fortele ce actioneaza asupra pendulului se poate obtine o ecuatie pentru N:
Prin inlocuirea acestei ecuatii in prima se obtine prima ecuatie de miscare a sistemului:
(1)
A doua ecuatie de miscare a sistemului se obtine insumand fortele perpendiculare pe pendul:
Rezulta:
A doua ecuatie de miscare a sistemului:
(2)
Aceste ecuatii trebuie liniarizate cu . Presupunand ca (unde reprezinta un unghi mic fata de verticala), se obtine cos(
) = -1, sin(
) = -
si . Dupa liniarizare, cele doua ecuatii de miscare devin:
(unde u reprezinta comanda)
Functia de transfer
Obtinerea pe cale analitica a functiei de transfer corespunzatoare ecuatiilor sistemului liniarizate ale sistemului se face aplicand transformata Laplace ecuatiilor:
Conditiile initiale se presupune ca sunt egale cu 0.
Se rezolva ecuatia in X(s),
se inlocuieste in a doua ecuatie:
Rezulta:
unde,
Functia de transfer are si pol si zero in origine.Functia de transfer poate deveni:
Spatiul starilor
Ecuatiile sistemului liniarizat pot fi reprezentate in spatiul starilor sub urmatoarea forma:

Matricea C este 2 pe 4 deoarece si pozitia caruciorului si pozitia pendulului fac parte din iesirea sistemului. Prima linie corespunde pozitiei caruciorului, iar cea de-a doua pozitiei pendulului.
Raspunsul sistemului in bucla deschisa
1. Functia de transfer
Functia de transfer a sistemului in bucla deschisa este obtinuta in Matlab:
:
num =
4.5455 0