Chestiuni de matematica distractiva
Poate fi matematica si distractiva ? Orice domeniu, cat de riguros, are si aspecte mai putin formale - iar matematica nu este din fericire o exceptie. Bineinteles ca fanii generatiilor PRO nu vor gasi nimic distractiv in cele expuse in continuare - dar la urma urmei nu este vina mea personala. Si nici a matematicii, fireste.
Matematica, asa cum se preda ea in scoala, este din pacate prea putin atractiva. Manualele au saracit in ultimii ani din cauza restructurarii programelor scolare, care au acordat o atentie sporita disciplinelor 'umaniste' (orice absolvent de liceu sustine doua examene la romana, in vreme ce exista multe profiluri la care matematica a fost deplin abolita din examenul de bac). Si asa, din manualele vechi si noi se pot invata in primul rand sabloane de rezolvare a unor exercitii mai mult sau mai putin raspandite. Inveti astazi sa calculezi integrale rational-trigonometrice si ai surpriza sa constati ca la examene se dau rational-exponentiale, pentru ca asa le-a fost mai comod profesorilor care au alcatuit subiectele. Si de altfel, prea multi invata matematica (daca o fac), doar de frica examenelor. Oare sa nu aiba aceasta materie nimic care sa merite timpul pierdut cu studiul ?
Atractivitatea unei expuneri are un rol hotaritor pentru impactul materialului expus asupra auditoriului. Daca v-as spune ca un an are 31.536.000 de secunde, ati uita acel numar imens imediat dupa ce ati inchide pagina de fata. Altfel ati retine insa ca secunde reprezinta un nano-secol, cu o aproximatie de 1%.
Cred ca un absolvent de liceu trebuie in primul rand sa ramana cu abilitatea de a gandi, de a elabora rationamente - si abia apoi cu insusirea unor algoritmi de calcul. Dezvoltarea acestei abilitati presupune :
reorganizarea programelor si manualelor scolare;
eliminarea rigiditatii expunerii.
In seria curenta de pagini, voi introduce cateva exemple menite tocmai a spori atractivitatea prezentarii matematicii.
Exemplul 1. Imediat dupa predarea regulii de trei simple in clasa a VIa, ar trebui propusa elevilor urmatoarea :
O orchestra compusa din 40 de instrumentisti interpreteaza o melodie in 4 minute. In cat timp va fi interpretata melodia de o orchestra compusa din 80 de instrumentisti ?
Dincolo de raspunsul pe care il intuiti (evident, tot in 4 minute), este important sa subliniem caracterul nociv al problemelor-sablon cu muncitori sapand la santuri sau cu conducte care umplu rezervoare, prezente in mai toate manualele. Trebuie ca de fiecare data cand este predat un astfel de sablon sa se insiste si asupra situatiilor in care el se aplica. Astfel, se va evita ca instrumentistii din problema noastra sa fie asimilati muncitorilor care sapa transee.
Exemplul al 2-lea. Acest exemplu celebru dateaza din antichitate. Filozoful Zenon si-a pus urmatoarea problema :
Ahile alearga in aceeasi directie si in acelasi sens cu o broasca testoasa, care are un avans d . Ahile are insa o viteza de 10 ori mai mare decat cea a broastei testoase. Cand Ahile va ajunge in punctul unde initial se afla broasca, aceasta va mai fi parcurs inca d/10 ; cand Ahile va ajunge si in acest punct, broasca tot va mai avea un avans d/100 . Continuand rationamentul la infinit, putem trage concluzia ca Ahile nu va ajunge niciodata broasca, ceea ce este paradoxal. Explicati situatia.
Explicatia (cel putin cea la care m-am gandit eu) este ca, in ciuda faptului ca pare infinita, suma : 
d + d/10 + d/100 + . . . are in fapt o valoare finita, care reprezinta chiar distanta dupa care Ahile depaseste broasca. Sa gandim problema si sub aspectul coordonatei timp . Fie t durata dupa care Ahile al nostru reuseste sa ajunga unde se afla initial broasca. Intre timp, aceasta nu a stat degeaba si a luat un usor avans, pe care eroul il remonteaza dupa t/10 s.a.m.d. . Suma : 
t + t/10 + t/100 + . . . = 10t/9 reprezinta chiar durata dupa care broscuta va fi intrecuta. Mai interesante par insa speculatiile referitoare la continuitatea timpului care se pot face pornind de aici. Are timpul o scurgere continua (modelata de exemplu de multimea numerelor reale pozitive, care intre oricare doua numere reale aseaza cel putin un altul) sau este o succesiune de intervale discrete de durata foarte mica dar bine stabilita ? Materia, dupa cum se stie, are o structura discreta - fiind compusa din numere intregi de particule de mase bine stabilite. Grosier, se poate afirma ca masa oricarui corp este un multiplu al unitatii atomice de masa, definita ca 1/12 din masa atomului de carbon 12. Situatia de mai sus pare sa fie o dovada in sprijinul continuitatii timpului - daca orice durata ar fi multiplu al unei unitati t0 , atunci nu s-ar putea face o diviziune a unui interval in oricate parti, ceea ce sus se face de altfel. Un timp continuu ne permite in schimb sa afirmam ca exista momentele t, t/10, t/100, . . . t/10n oricare ar fi n natural.
Exem...