Despre derivatele de ordinul n
Unul dintre cele mai frecvente tipuri de subiecte de admitere din ultimii ani include calculul derivatelor de ordinul n pentru functii apartinand unor tipuri diferite. In materialul de fata, vom prezenta modul in care se determina acestea pentru anumite clase de functii.
Fireste ca in toate cazurile vom considera o functie , I fiind un interval, care este de n ori derivabila pe I (de cele mai multe ori, este chiar indefinit derivabila pe I, adica derivabila de n ori, ). In cele mai multe cazuri, nu vom mai specifica domeniul de definitie/derivabilitate pentru functiile care apar; aceasta ramane misiunea utilizatorilor.
Functii polinomiale.
Avem succesiv:

…

Cu alte cuvinte, dupa n derivari succesive, un polinom de gradul n se reduce la o constanta, iar dupa inca o derivare se “stinge” (adica se anuleaza).
Ex. rezolvat 1. Sa se arate ca daca polinomul admite radacina de multiplicitate , atunci este radacina a primelor (m-1) derivate ale lui f.
Solutie. Se scrie f sub forma:
(1.1)
Derivam aceasta relatie si obtinem:
Daca notam:
rezulta:
(1.2)
Rationamentul continua cu derivarea succesiva a relatiilor obtinute, rezultand dupa efectuarea unor notatii similare:
(1.3)
…
ceea ce incheie demonstratia.
Ex. rezolvat 2. (admitere in clasa a XI-a, 1987) Sa se determine parametrii astfel incat polinomul sa fie divizibil cu .
Solutie. Divizibilitatea cu echivaleaza cu radacina dubla si deci (conform exercitiului precedent) se pun conditiile . Dar:
Rezolvand sistemul, gasim: .
Functii rationale.
Trebuie spus de la bun inceput ca nu toate functiile rationale se deriveaza ‘frumos’ de n ori. Un bun exemplu este ; calculul derivatei de ordinul n pentru o astfel de functie depaseste cadrul programei de liceu.
Care sunt atunci acele functii rationale de care ne vom ocupa? Pai numai cele de forma unde admite numai radacini reale. In acest caz, putem scrie:
unde sunt radacinile lui Q.
Dupa cum se cunoaste (vezi manualul de Analiza de clasa a XII-a), functia f admite o descompunere in elemente simple de forma:
unde C(x) este un polinom (catul impartirii lui P la Q).
2.1 Derivata de ordinul n a functiei ,
Calculam succesiv:

…
Procedam prin metoda inductiei matematice: presupunem ca pentru avem (*) ; trebuie sa aratam ca .
Derivam relatia (*) si rezulta:
Am obtinut asadar relatia:
(2.1)

2.2 Aplicatii
Derivata de ordinul n a functiei
Similar cu rationamentul de mai sus, rezulta ca:
(2.2)

Derivata de ordinul n a functiei
Se procedeaza tot prin inductie matematica, obtinand:
(2.3)

Ex. rezolvat 3. Fie . Calculati .
Solutie. Descompunem f in elemente simple sub forma:
Dupa aducerea la acelasi numitor si identificarea coeficientilor, rezulta . Deci ( .
3. Functii trigonometrice, exponentiale, logaritmice etc.
3.1 Functia
Arhicunoscuta de la fizica (descrie ecuatia unei oscilatii armonice fara pierderi de energie). Calculam succesiv:

Am ajuns la ceva care seamana cu functia data, numai ca are un factor de amplificare egal cu . Am putea sa demonstram formule de genul:
numai ca pentru ar trebui sa stabilim o alta formula etc. Aceasta lipsa de unitate nu ar fi deloc de natura sa simplifice forma rezultatului final.
Ne amintim de formulele de reducere la primul cadran, invatate la trigonometrie in clasa a IX-a (speram noi () si rezulta:
Acum presupunem (pasul de inductie) ca si trebuie sa demonstram ca:
.
Intr-adevar, ( (tinand seama ca are loc identitatea ):
. Rezulta deci:
(3.1)

3.2 Functia
Rezulta in mod imediat prin inductie dupa n ca:
(3.2)

3.3 Functia .
Avem si de aici incolo rezulta ca:
(3.3)

Ex. rezolvat 4. (dat la admitere prin 1983 mi se pare). Sa se demonstreze ca functia nu este polinomiala.
Solutie. Daca functia data ar fi polinomiala de grad , ar trebui ca . Dar . Contradictia este evidenta.
4. Leibniz, meine Liebe…
Fireste ca daca toate functiile carora li se poate calcula derivata de ordinul n s-ar reduce la functii de unul din tipurile de mai sus, materialul s-ar termina aici. Exista insa o celebra formula datorata lui Leibniz (unul din intem...