Divizibilitatea numerelor naturale

Definitia divizibilitati. Divizor. Multiplu

Definitie: Un numar natural a este divizibil cu un numar natural b daca exista un numar natural c astfel incat a = b c.
Exemplu: Fie numerele naturale 8 si 2. Exista oare un numar natural astfel incat inmultindu-l cu 2 sa obtinem 8? Da. Acest numar este 4. Intr-adevar: 8 = 2 4.
Se mai spune: “a se divide cu b”, “b divide pe a “, “b este divizor al lui a”, “a este multiplu al lui b”.
Daca a si b sunt numere naturale, b | a se citeste “b divide pe a” sau 2 | 6.
Definitie: Fie a si b doua numere naturale. Spunem ca b | a daca exista un numar natural c astfel incat a = b c.
Observatii:
Nu orice numar natural par este divizibil cu 4. De ex.:6 nu este divizibil cu 4.
Nu orice numar natural de forma 6n – 1, unde n apartine N*, se divide numai cu 1 si cu el insusi. De ex.: Daca n = 6, avem 6 6 – 1 = 35, iar 35cu 1, cu 35, cu 5 si cu 7.
Proprietati ale divizibilitatii numerelor naturale
Orice numar natural este divizibil cu 1 sau 1 | a oricare ar fi a apartine N.
0 este divizibil cu orice numar natural sau a | 0, oricare ar fi a apartine N.
Orice numar natural se divide cu el insusi sau a | a, oricare ar fi a apar-tine N.
Fie a si b doua numere naturale. Daca a este divizibil cu b si b este divizibil cu a atunci a = b sau daca a | b si b | a, oricare ar fi a, b apartine N.
Fie a, b, c trei numere naturale. Daca b se divide cu a iar c se divide cu b atunci c se divide cu a sau daca a | b si b | c, atunci a | c, oricare ar fi a,b,c apartine N. Daca un numar natural se divide cu nu numar natural, atunci primul se divide cu toti divizorii celui de-al doilea.
Daca fiecare termen al unei sume de doua numere naturale se divide cu un numar natural, atunci si suma lor se divide cu acel numar natural.
Daca un numar natural a se divide cu un numar natural m si daca un numar natural b se divide cu acelasi numar natural m, atunci si suma lor a + b se divide cu m sau daca m | a si m | b, atunci m |