Ecuatii
Ecuatia de gradul I
ax+b=0
cazI a(0 ( x=-b/a - ecuatie compatibila determinata
cazII a=0 ( ( b=0 ( x (R - ecuatie compatibila nedeterminata
( b(0 ( x ( R - ecuatie incompatibila
Ecuatii - compatibile = au cel putin o radacina
- incompatibile = nu au radacina in domeniu
Ec. compatibile - determinate = au o radacina unica
- nedeterminate = au cel putin doua radacini
Ecuatia de gradul al doilea
ax2+bx+c=0 a, b, c ( R a(0
(=b2-4ac
1) (>0 ( x1, x2 ( R, x1(x2 x1,2=(-b((()/2a
2) (=0 ( x1, x2 ( R, x1=x2=-b/2a
3) (<0 ( ecuatia nu are radacini reale
Daca b este par (b=2b1 atunci (= b2-4ac=4(b12-ac)=4 (1 (1= b12-ac
1) (1>0 (x1,2=(-b1(((1)/a
2) (1=0 (x1=x2=-b1/a
3) ec. nu are radacini reale
In general
S=x1+x2=(-b+((-b-(()/(2a)=-b/a
P=x1x2=[(-b+(()(-b-(()]/(4a2)=c/a
Concluzie
-Relatiile lui Viéte
S= x1+x2=-b/a
P= x1x2=c/a
Reciproc: scrierea ecuatiei de gradul al doilea când se cunosc radacinile
ax2+bx+c=o ( :a
x2-(-b/a)x+c/a=0
x2-Sx+P=0
De ex:
X1=1 ( S=1-2=-1
X2=-2 P=1(-2)=-2
x2-(-1)x+(-2)=0 x2+x-2=0
Discutarea unei ecuatii de gradul al doilea reprezinta precizarea naturii radacinilor si semnelor lor:
- natura este data de semnul lui (
- semnele radacinilor sunt date de semnele lui P si S
Ex:
2x2-5x-3=0
a=2 b=-5 c=-3
(=(-5)2-4(2((-3)=49>0
P=c/a=-3/2<0
S=- b/a=5/2>0
(
P
S
natura si semnele radacinilor
+
-
+
x1,2 (R x1(x2 x1<0, x2>0, (x1(<(x2(
(
P
S
natura si semnele radacinilor
0
+
+
x1,2 (R x1=x2 x1,2>0
(
P
S
natura si semnele radacinilor
+
+
-
x1,2 (R x1(x2 x1,2<0
(
P
S
natura si semnele radacinilor
+
-
-
x1,2 (R x1(x2 x1<0, x2>0 (x1(>(x2(
(
P
S
natura si semnele radacinilor
+
+
+
x1,2 (R x1(x2 x1,2>0
(
P
S
natura si semnele radacinilor
-
+
-
x1,2 (R
Daca P+ ( x1,2>0 sau x1,2<0
Daca P- ( x1<0, x2>0
S+ ((x1(<(x2(
S- ((x2(<(x1(
P+S- (x1,x2<0
P+S+ ( x1,x2>0
P-S- ((x1(>(x2(
P-S+ ((x1(<(x2(
Ecuatii irationale
- sunt ecuatiile care contin necunoscute sub semnul radical
ex:
x-2 =15+ x
când x-2 ( 0 ( x ( 2 ( Dx = [2;+()
x ( 0 x ( 0
( x-2)2=(15 + x )2
x-2=25 +10 x +x
10 x = -27 imposibil daca x(0 ( x (0 (10 x (0 (x((
...
