CUPRINS
NOTIUNI TEORETICE……………………………..2
Derivata unei functii într-un punct 2
Operatii cu functii derivabile. Derivatele unor functii uzuale ..5
Proprietatile functiilor derivabile ………………………...10
APLICATII …………………………………………..……18
Notiuni teoretice
? I. Derivata unei functii într-un punct
I.0o Originea notiunii de derivata
Au existat doua probleme, una fizica - modelarea matematica a notiunii intuitive de viteza a unui mobil - si alta geometrica - tangenta la o curba plana -, care au condus la descoperirea notiunii de derivata. Am folosit de mai multe ori referiri la viteza unui mobil, dar abia acum vom putea da definitia matematica a acestui concept.
I.1o Definitia derivatei unei functii într-un punct
Fie o functie ƒ : E ? R (ER) si, x0 punct de acumulare al multimii E. Retinem ca ƒ este definita in x0.
DEFINITIA 1:
1) Se spune ca ƒ are derivata în punctul x0, daca exista ( în )
notata cu ƒ’(x0);
2) Daca derivata ƒ’(x0) exista si este finita se spune ca functia ƒ este derivabila în
x0.
Observatii. 1. Se poate întâmpla ca ƒ’(x0) sa existe si sa fie .
2.Trebuie remarcat ca problema existentei derivatei sau a derivabilitatii
nu se pune în punctele izolate ale multimii E (daca E are astfel de puncte!).
Presupunem ca ƒ’(x0) exista; facând translatia x – x0 = h, atunci din relatia de definitie rezulta ca
DEFINITIA 2:
Daca o functie ƒ: E ? R este derivabila în orice punct al unei submultimi FE, atunci se spune ca ƒ este derivabila pe multimea F. In acest caz, functia F ? R, x ? ƒ’(x) se numeste derivata lui ƒ pe multimea F si se noteaza cu ƒ’. Operatia prin care ƒ’ se obtine din ƒ se numeste derivarea lui ƒ.
TEOREMA 1. Orice functie derivabila într-un punct este continua în acel punct.
Demonstratia este simpla: Presupunem ca ƒ: E ? R este derivabila în punctul
