INTEGRALE DEFINITE
SUME RIEMANN
Definitie: Se da colectia de obiecte:
[a,b] - interval inchis
?- diviziune a intervalului [a,b]
? = (a=x0 f:[a,b]?R
?I - un sistem de puncte intermediare cuprins in intervalul [a,b]
?I ? [xi-1,xi]
Numim suma Riemann atasata functiei f, diviziunii ? si sistemului de puncte intermedi-are ?I numarul notat:
n
??(f,?i) = ? f(?i)*(xi-xi-1)
i=1
INTEGRALE IN SENS RIEMANN
Definitie: Se da f:[a,b]?R. Spunem ca functia f este integrabila in sens Riemann daca ? if ? R a.i. ? ?>0,? ??>0 cu proprietatea ca ? ? o diviziune a intervalului [a,b] si (?i) un sistem de puncte intermediare, ?i ? [xi-1,xi] cu ||?|| if - se numeste integrala definita a functiei f pe intervalul [a,b]
b
notez: if = ? f(x)*dx.
a
b
Obs:
1) Numarul real if este unic; ? f(x)*dx este unica.
a
Demonstratie:
P.p.a. ca ? i1?i2 care verifica conditiile din definitie, atunci pentru ? ?>0 ? ?k,?>0 (k=1,2) astfel incat pentru orice diviziune:
?=(x0,x1,…,xn) a lui [a,b] cu ||?|| < ?? si orice puncte intermediare xi-1 ? ?i ? xi (1 ? i ? n) sa avem:
|??(f,?)-ik| Luand ?? = min(?1,? , ?2,?) rezulta ca pentru orice diviziune ? a lui [a,b] cu ||?|| |??(f,?)-i1| < ?/2 si |??(f,?)-i2| < ?/2,
deci: |i1- i2| < |i1- ??(f,?)| + |??(f,?)-i2| < ?/2+?/2 = ?.
Cum ? > 0 a fost luat arbitrar, rezulta i1=i2; dar din ipoteza i1?i2 ? contradictie.
Deci if este unic.
2) f:[a,b]?R
f - integrabila in sens Riemann pe [a,b] ? f marginita pe [a,b]
Demonstratie:
f - integrabila pe [a,b] ? ? if ? R a.i. ? ? o diviziune a lui [a,b] si ? ?>0, ? ??>0 pentru care ||?|| Arat ca f este marginita pe [xk-1,xk]
? x, i?k
Fie ?i=?
?xi, i=k
n n
??(f,?i) = ? f(?i)*(xi-xi-1) = ? f(xi)*(xi-xi-1) + f(x)*(xk-xk-1)
i=1 i=1
i?k
|??(f,?i) - if | < ?
-? < ??(f,?i) - if < ? /+ if
-? + if < ??(f,?i) < ? + if
n
-? + if < ? f(xi)*(xi-xi-1) + f(x)*(xk-xk-1) < ? + if
i=1
i?k
1/(xk-xk-1)*[ - ? + if - ? f(xi)*(xi-xi-1)] < f(x) < 1/(xk-xk-1)*[ - ? + if - ? f(xi)*(xi-xi-1)]
[?????????????????????????????] [?????????????????????????????]
M1 M2
M1< f(x) < M2
? f - marginita pe [xk-1,xk] ? k ? {1,2,…,n} ? f - marginita pe [a,b]
3) f,g:[a,b]? R
A?[a,b]
A finita, cu proprietea:
g integrabila pe [a,b]
f(x)=g(x) ?x?[a,b]\A
atunci: a) f - integrabila pe [a,b]
b b
b) ? g(x)*dx = ? f(x)*dx
a a
Demonstratie:
Este suficient ca demonstratia sa fie facuta pentru cazul cand multimea finita A este for-mata dintr-un singur punct c, deoarece cazul general se poate obtine din acesta prin inductie. Presupunem deci A={c}.
Functia g fiind integrabila, este marginita, deci ? M1 ? 0 astfel incat:
|g(x)| ? M1 ? x?[a,b]
Luand M = max( M1, |f(c)| ) ? f(x) ? M si g(x) ? M ? x?[a,b].
g - integrabila ? ? ? > 0, ? ?’? > 0 a.i.:
b
| ??(g,?i) - ? g(x)*dx | < ?/2
a
? ? = (x0, x1,…,xn), cu ||?|| < ?’? si ? sistemul de puncte intermediare ?i.
Luand ?? = min (?’?, ?/(8*M) ), avem ?? ? ?? si 4*M*?? ? ?/2.
Daca c este un punct al diviziunii ?, atunci ? 0 ? i ? n astfel incat c = xj. In acest caz singurele puncte intermediare care ar putea coincide cu c sunt punctele ?j sau ?j+1. Deci tinand seama de faptul ca f(x) = g(x) ? x ? c, obtinem:
| ??(g,?i) - ??(f,?i) | = | ? ( g(?i) - f(?i) )*( xi - xi-1 )| ? | g(?j) - f(?j)|*(xj - xj-1) + | g(?j+1) - - f(?j+1)|*(xj+1 - xj) ? 4*M*||?|| < 4*M*?? < ?/2
Daca c nu este punct al diviziunii ?, atunci c este continut intr-un interval deschis
(xk-1,xk). Deci singurul punct intermediar care ar putea coincide cu c este punctul ?k, prin urmare:
| ??(g,?i) - ??(f,?i) | = | ? ( g(?i) - f(?i) )*( xi - xi-1 )| ? | g...