Legi de conservare într-o problema fara constrângeri
Lasând deoparte constrângerea (2), vom relua problema de maximizare a integralei:
(1)
Aceasta problema poate fi privita ca un caz particular
Pe baza acestui fapt, teoremele din sectiunea precedenta
(3)( .
Teorema 1(. Pentru Lagrangianul (3)(, fie si ce satisfac ecuatiile:
(7)( ,
pe o cale optimala pentru problema de maximizare a (1). Atunci cantitatea conservata ( este data de:
(8)( .
Teorema 2(. Pentru Lagrangianul (3)(, fie ce satisface ecuatiile (7)( pe o cale optimala pentru problema de maximizare a(1). Atunci cantitatea conservata ( este data de:
(10)( .
Teorema 3(. În Lagrangianul (3)(, fie functia omogena de grad r în raport cu si . Atunci exista urmatoarea cantitate conservata pentru problama de maximizare a (1):
(15)( .
Pentru Lagrangianul de forma (3)(, vom defini un Hamiltonian modificat (H fiind Hamiltonianul uzual):
,
unde r este gradul de omogenitate al lui U. Atunci cantitatea conservata (15)( este scrisa , unde , care va fi redusa la o cantitate conservata ma târziu.
Teorema 4(. În Lagrngianul (3)(, fie functia omogena de grad r în raport cu si .Atunci exista urmatoarele doua cantitati conservate pentru problema de maximizare a(1):
(19)( ,
(20)( .
Noi legi de conservare în modelele de crestere economica
Teoremele stabilite în sectiunea precedenta pot fi aplicate efectiv pentru derivarea unor noi legi de conservare în câteva modele de crestere economica.
O generalizare a modelului de crestere de tipul von Neumann.
Prima aplicatie este data de n mijloace fixe si n mijloace de formare a capitalului fix . Deci în teorema 1, datorita teoremei 4, si sunt privite respectiv ca o functie de utilitate omogena de grad r si o functie de transformare omogena de gradul întâi, în raport cu si , si ( este rata de scont constanta.
În aceasta situatie, cantitatea conservata (15) se transforma imediat în:
În particular,pentru (
=const.), cantitatea se reduce la:
;
Aceasta cantitate conservata nu poate fi separata în doua cantitati conservate independente prntru integrarea functiei.
În cazul , presupunem ca U este derivata totala în raport cu timpul a functiei omogena de gradul întâi în raport cu , . Atunci U este omogena de gradul întâi în raport cu , . Deci vom avea:
.
Prin urmare, cantitatile conservate (19) si (20) cu gradul de omogenitate conduc respectiv la:
, ,
care sunt, în cazul , chiar cele ale lui Samuelson.
Pe de alta parte, dupa cum am vazut mai înainte, este o solutie ce satisface (6) si (7) pe un drum optim. Aici solutia se reduce la . Si, tinând seama de ecuatiile (5) cu si :
,
vom obtine imediat o alta solutie . Ambele cantitati conservate sau pot fi obtinute deci prin înlocuirea lui în (10) sau si în (8), respectiv.
...