( 1. ELEMENTE DE CALCULUL PROPOZITIILOR
Notiunea de propozitie. Se numeste propozitie un enunt despre care stim ca este advarat sau fals, însa nu si una alta simultan.
Exemple. Consideram enunturile: 1)În orice triunghi suma unghiurilor sale este egala cu 180º ; 2) ‚‚3+2=5’’; 3)’’2>5’’ 4) Balena este un mamifer’’ ; 5) Planeta Venus este satelit al Pamântului’’.
Toate aceste enunturi sunt propozitii, deoarece despre fiecare putem sa stim daca este adevarata sau falsa. De exemplu 1),2) si 4) sunt propozitii adevarate, iar 3) si 5) sunt propozitii false.
Observatie. O clasa foarte larga de propozitii adevarate o constituie teoremele din matmatica.
Sa consideram enunturile 1),,x+2=5’’ ; 2)’’x-1<4’’ 3)’’Deschide usa!’’ ; 4)’’Numarul x divide numarul y’’ ; 5)’’Atomul de aur este galben’.
Se observa ca 1), 2), 3), 4) si 5) sunt enunturi pentru care conditia de mai sus(de afi adevarat sau fals) nu este îndeplinita. Mai exact enunturile 1), 2) si 4) au caracter variabil, enuntul 3) este o porunca despre care este lipsit de sens sa afirmam ca este adevarata sau falsa, enuntul 5) este absurd, deoarece e lipsit de sens sa vorbim despre culoarea unui atom.
Valoare de adevar. Daca o propozitie este adevarata, spunem ca ea are valoarea de adevar ‚adevarul’ si vom nota valoarea de adevar, în acest caz, prin semnul 1 sau A; când propozitia este falsa spunem ca ea are valoarea de adevar ‚falsul’ si vom nota valoarea de adevar prin semnul 0 sau F.
Observatie. 0 si 1 sunt aici simboluri fara înteles numeric.
Vom nota propozitiile cu literele p, q, r... sau p1, p2,, p3 ... . Acestea se pot compune cu ajutorul asa-numitilor conectori logici ‚non’ , ‚si’ , ‚sau’ dând propozitii di ce în ce mai complexe.
p
? p
1
0
0
1
Negatia propozitiilor. Negatia propozitiei p este propozitia non p care se noteaza ? p si care este adevarata când p este falsa si falsa când p este adevarata. Valoarea de adevar a propozitiei ? p este data in tabelul urmator:
De exemplu, consideram propozitia p: Balena este un mamifer. Negatia ? p este propozitia : Non balena este un mamifer sau, în limbajul obisnuit : Balena nu este un mamifer. În acest caz ? p este o prpozitie falsa
Conjunctia propozitiilor. Conjunctia propozitiilor p, q este propozitia care se citeste p si q, notata p ? q si care este adevarata atunci si numai atunci când fiecare din propozitiile p, q este adevarata.
p
q
p ? q
1
1
1
1
0
0
0
1
0
0
0
0

De exemplu, sa consideram propozitiile p: ‚2+4+6’ si q: ‚Luna este satelit al Pamântului’. În acest exemplu p ? q este o propozitie adevarata deoarece p, q sunt amândoua adevarate. Deseori în loc de p ? q se mai foloseste notatia p&q.
Disjunctia propozitiilor. Disjunctia propozitiilor p, q este propozitia care se citeste p sau q, notata p v q, si care este adevarata atunci si numai atunci când este adevarata cel putin una din propozitiile p, q.
p
q
p v q
1
1
1
1
0
1
0
1
1
0
0
0

De exemplu consideram propozitiile p: 2>3 si q: balena este un peste. Propozitia p v q este o propozitie falsa deoarece ambele propozitii sunt false.
Propozitiile care se obtin din prpozitiile p, q, r..., numite propozitii simple, aplicând de un numar finit de ori conectorii logici ’’ ? , ? , v’’ se vor numi propozitii compuse. Calculul propozitiilor studiaza propozitiile compuse din punctul de vedere al adevarului sau falsului în raport cu valorile logice ale propozitiilor simple care le compun.
Implicatia propozitiilor. Sa consideram propozitia compusa ( ? p) v q a carei valoare de adevar rezulta din tabela urmatoare:
p
q
? p
( ? p) v q
1
1
0
1
1
0
0
0
0
1
1
1
0
0
1
1

Observam ca propozitia compusa ( ? p) v q este falsa atunci si numai atunci când p este adevarata si q falsa, în celelalte cazuri fiind adevarata.
Propozitia compusa ( ? p) v q se noteaza p?q si se citeste daca p atunci q sau p implica q. Ea se numeste implicatia propozitiilor p, q ( in aceasta ordine).În implicatia p?q , p se numeste ipoteza sau antecedentul implicatiei, iar propozitia q se numeste concluzia sau consecventul implicatiei
Echivalenta propozitiilor. Cu propozitiile p, q putem forma propozitia compusa (p?q) ? (q?p), care se noteaza p?q si se citeste p daca si numai daca q.
p