6. MULTIMEA NUMERELOR COMPLEXE “C”

C =R x R ={(x, y) | x, y(R}= {z | z=x+iy, x,y(R} – multimea numerelor complexe;
z=(x, y) – numar complex;
(x, 0)=x;
(0, 0)=0;
(1, 0)=1;
(0, 1)=i unitate imaginara;
(x, y)=(x, 0)+(0, y)= (x, 0)+(y, 0)(0, 1);
z1+z2=(x1, y1)+(x2, y2)=(x1+x2, y1+y2) adunarea;
z1z2=(x1, y1)(x2, y2)=(x1x2-y1y2, x1y2+x2y1) înmultirea.
Proprietati:
(z1+z2)+z3=z2+(z1+z3), (z1,z2,z3(C asociativitatea adunarii;
(z1z2)z3=z2(z1z3), ( z1,z2,z3(C asociativitatea înmultirii;
z1+z2=z2+z1, ( z1,z2(C comutativitatea adunarii;
z1z2=z2z1, ( z1,z2(C comutativitatea înmultirii;
z+0=0+z=z, ( z(C, 0 element neutru pentru adunare;
z1=1z=z, ( z(C, 1 element neutru pentru înmultire;
z+(-z)=(-z)+z=0, ( z(C, (-z) element opus pentru z;
zz-1=z-1z=1, ( z(C*, z-1 element invers pentru z;
z1(z2+z3)=z1z2+z1z3, ( z1,z2,z3(C distributivitatea înmultirii fata de adunare;
(z1+z2)z3=z1z3+z2z3, ( z1,z2,z3(C distributivitatea înmultirii fata de adunare.
Forma algebrica a numarului complex: z=x+iy
Re(z)= x partea reala;
Im(z)=y coeficientul partii imaginare;
iy parte imaginara;
i unitate imaginara;
i2=-1;
z1+z2=(x1+i y1)+(x2+iy2)=(x1+x2)+i(y1+y2) adunarea;
z1z2=(x1+iy1)(x2+iy2)=(x1x2-y1y2)+i(x1y2+x2y1) înmultirea.
Egalitatea a doua numere complexe:
z1=(x1+i y1)= (x1,y1), z2=(x2+iy2)= (x2,y2), z1=z2 ( x1=x2 si y1=y2;

Conjugatul numarului complex z:

;

;

;

;

.
Modulul unui numar complex:
|z|=|x+iy|=
(R.
|z1z2|=|z1|·|z2|;

.
Puterile lui i:



 Reprezentarea geometrica a numerelor complexe:
z=x+iy=(x,y), x,y(R i se asociaza punctul M(x,y);
M se numeste imaginea geometrica a numarului complex x+iy;
x+iy se numeste afixul punctului M;
?AOM OM=
.
Forma trigonometrica a numerelor complexe: z=r(cos t* + i sin t*)
OM=
- r raza polara a imaginii lui z;
x=r cos t*, y=r sin t*, tg t*=
; arg z=t* argument redus al lui z;
Arg z={t | t=arg z +2k(, k(Z}={t | t=t*+2k(, k(Z} argumentul lui z;
z1=r1(cos t1 + i sin t1), z2=r2(cos t2 + i sin t2)