CUPRINS
NOTIUNI TEORETICE……………………………..2
Derivata unei functii într-un punct 2
Operatii cu functii derivabile. Derivatele unor functii uzuale ..5
Proprietatile functiilor derivabile ………………………...10
APLICATII …………………………………………..……18
Notiuni teoretice
? I. Derivata unei functii într-un punct
I.0o Originea notiunii de derivata
Au existat doua probleme, una fizica - modelarea matematica a notiunii intuitive de viteza a unui mobil - si alta geometrica - tangenta la o curba plana -, care au condus la descoperirea notiunii de derivata. Am folosit de mai multe ori referiri la viteza unui mobil, dar abia acum vom putea da definitia matematica a acestui concept.
I.1o Definitia derivatei unei functii într-un punct
 Fie o functie ƒ : E ? R (E
R) si
, x0 punct de acumulare al multimii E. Retinem ca ƒ este definita in x0.
DEFINITIA 1:
1) Se spune ca ƒ are derivata în punctul x0, daca exista ( în )
notata cu ƒ’(x0);
2) Daca derivata ƒ’(x0) exista si este finita se spune ca functia ƒ este derivabila în
x0.
Observatii. 1. Se poate întâmpla ca ƒ’(x0) sa existe si sa fie .
2.Trebuie remarcat ca problema existentei derivatei sau a derivabilitatii
nu se pune în punctele izolate ale multimii E (daca E are astfel de puncte!).
Presupunem ca ƒ’(x0) exista; facând translatia x – x0 = h, atunci din relatia de definitie rezulta ca
DEFINITIA 2:
Daca o functie ƒ: E ? R este derivabila în orice punct al unei submultimi F
E, atunci se spune ca ƒ este derivabila pe multimea F. In acest caz, functia F ? R, x ? ƒ’(x) se numeste derivata lui ƒ pe multimea F si se noteaza cu ƒ’. Operatia prin care ƒ’ se obtine din ƒ se numeste derivarea lui ƒ.
TEOREMA 1. Orice functie derivabila într-un punct este continua în acel punct.
Demonstratia este simpla: Presupunem ca ƒ: E ? R este derivabila în punctul x
E, deci limita din definitia 1 exista si este finita.
În general reciproca teoremei este falsa. Un exemplu este functia modul în origine.
În studiul existentei limitei unei functii într-un punct un criteriu util l-a constituit egalitatea limitelor laterale. Adaptam acest criteriu la studiul derivabilitatii unei functii într-un punct, tinând cont ca existenta derivatei implica în fond existenta unei anumite limite.
DEFINITIA 3.
Fie E
R si x0
E un punct de acumulare pentru E
. Daca limita
exista (în R barat ), atunci aceasta limita se numeste derivata la stânga a functiei ƒ în punctul x0.Daca , în plus, aceasta limita exista si este finita, atunci se spune ca ƒ este derivabila la stânga în punctul x0.
În mod similar se definesc derivata la dreapta si notiunea de functie derivabila la dreapta în x0.
TEOREMA 2. Daca ƒ: E ? R este derivabila în punctul x0
E, atunci ƒ este derivabila la stânga si la dreapta în x0 si
Reciproc, daca ƒ este derivabila la stânga si la dreapta în x0 si daca , atunci ƒ este derivabila în x0 si
Daca E=[ a, b], faptul ca ƒ este derivabila în a (respectiv b) revine la aceea ca ƒ este derivabila la dreapta în punctul a (respectiv la stânga în b).
Exemplu : Pentru ƒ : R?R, ƒ(x) =| x |, avem
Similar se obtine ca:
,
regasim ca ƒ nu este derivabila în punctul x = 0.
I.2o Interpretarea geometrica a derivatei
Daca ƒ: (a, b)?R este o functie derivabila într-un punct x0
(a, b), atunci conform relatiilor
graficul lui ƒ are tangenta în x0 (sau mai corect în punctul (x0, ƒ(x0)), anume dreapta de ecuatie
Asadar ƒ’(x0) este coeficientul unghiular al tangentei la graficul lui ƒ, în punctul (x0,ƒ(x0)). Daca ƒ’(x0)= (în sensul ca limita din definitie este infinita), atunci tangenta în (x0, ƒ(x0)) este paralela cu axa Oy.
Fara nici o dificultate , se poate vorbi de semitangenta la dreapta sau la stânga într-un punct la un grafic, în legatura cu derivatele laterale respective în acel punct. Geometric, pentru o functie derivabila într-un punct, directiile semitangentelor la dreapta si stânga la grafic în acel punct coincid.
Daca într-un punct x0, ƒ este continua si avem (sau invers), atunci punctul x0 se numeste punct de întoarcere al graficului lui ƒ.
Daca o functie ƒ: E ? R (E
R) este continua într-un punct x0
E, daca exista ambele deri...