Teorema lui Ceva

Fie ABC un triunghi si punctele M???AB, N???BC si P???AC astfel încât MA = ?MB, NB = ?NC, PC = ?PA. Atunci dreptele AN, BP, CM sunt concurente daca si numai daca ??? = ??.



Demonstratie:

Notam {O} = BP AN, {S} = MC AN. Aplicam teorema lui Menelau pentru triunghiul ABN si transversala CM. Se obtine relatia MA : MB • CB : CN • ON : OA = 1 sau (ON:OA) = [1:a(1- ß)], (1). Din teorema lui Menelau în triunghiul ACN si transversala BP obtinem: BN : BC • PC : PA • SA : SN = 1, de unde rezulta ca:
SA : SN = 1: ? • (1- 1:ß), (2).
Dreptele AN, BP, CM sunt concurente daca si numai daca O = S.
Din relatiile (1) si (2) se obtine ca a (1-ß) = 1 : ? [(ß-1) : ß] sau (1-ß) • (1 + aß?) = 0.
Daca ß ? 1 atunci aß? = -1 si teorema este demonstrata.
Daca ß = 1 atunci NB = NC sau BC = 0 ceea ce nu se poate.



Problema:

Fie P un punct în planul triunghiului ABC si D ???C, E????C, F??????astfel încât cevienele AD, BE, CF sa fie concurente în P. Sa se arate ca daca dreptele EF, DE, DF intersecteaza dreptele BC, AB, AC în punctele M, N, Q atunci punctele M, N, Q sunt coliniare.? ?





Solutie:
Din teorema lui Ceva în triunghiul ABC se obtine BD : DC • EC : AE • AF : FB = 1.
Aplicam teorema lui Menelau în triunghiul ABC cu transversalele EF, DE, DF. Rezulta ca MB : MC • CE : AE • AF: FB = 1, NA : NB • BD : DC • CE : EA = 1,
QA : QC • CD : DB • FB : FA = 1. Din aceste relatii obtinem:
MB : MC • NA : NB • QC: QA = AE : CE • FB : AF • DC : BD • AE : CE • CD : DB • •FB : FA = (DC : DB • AE : CE • FB : FA)² = 1. Din reciproca teoremei lui Menelau rezulta ca punctele M, N, Q sunt coliniare.
Dreapta QMN se numeste polara triliniara a punctului P în raport cu triunghiul ABC.