Transformari omotetice

Fie o dreapta orientata d si un numar real nenul u. Daca fixam un punct ( ( d, atunci transformarea ce asociaza fiecarui punct O ( d punctul M definit de relatia
(M = u (O (H)
se numeste omotetie de centru ( si raport u pe d. Daca u > 0, omotetia este directa, iar daca u < 0, se numeste indirecta. Omotetia inversa omotetiei (H) asociaza fiecarui punct M ( d punctul O definit de relatia
(O = (M (H’)
Daca presupunem definit un sistem de coordonate ( : d ( R cu originea ( si notam coordonatele punctelor O si M cu t = ((O), s = ((M), atunci omotetiile (H) si (H’) au reprezentarea analitica
s = u t
si respectiv
t = s
Omotetia poate fi privita ca o miscare. De exemplu, sa consideram punctul O’ definit de relatia
OO’ = a OM (H1)
a fiind un numar pozitiv subunitar. Daca fixam punctul A dat de egalitatea
OA = OM
si definim sistemul de coordonate SA : d ( R cu proprietatea SA(O) = 0, SA(A) = 1, atunci punctelor O’ si M li se asociaza coordonatele s1 = SA(O’), s = SA(M) între care exista relatia
s1 = a s (*)
aceasta fiind expresia analitica a omotetiei (H1) de centru O si raport a în sistemul de coordonate SA. Pe de alta parte, daca în (*) efectuam schimbarea de coordonate
s = u t (**)
si notam v = a u, atunci (*) devine
s1 = v t (***)
Prin ultimele doua relatii, omotetia (H1) de centru O si raport a = depinde de coordonata t = ((O). Daca t parcurge multimea R+ a numerelor reale pozitive, atunci punctele O, O’ si M parcurg semidreapta pozitiva cu originea ( în sistemul de coordonate (, iar punctele O’ si M parcurg semidreapta pozitiva cu origin