Vectori si operatii


1. Adunarea vectorilor
Fie u si v doi vectori in plan de directii diferite . Fie O un punct in plan . Construim OA=u si OB=v . Fie S un al patrulea varf opus lui O al paralelogramului cu trei varfuri in O,A si B .






OS = u + v ( regula paralelogramului )
1) Daca u si v sunt doi vectori de aceeasi directie si acelasi sens atunci u+v este vectorul de aceeasi directie si sens si de lungime | u |+| v | .
2) Daca u si v au aceeasi directie si sensuri opuse atunci daca | u |>| v | vectorul u+v are aceeasi directie cu vectorii u si v , are sensul vectorului u si lungimea | u |-| v | .
3) Daca u si v au aceeasi directie , sensuri opuse si | u | av se obtine din v astfel :
pentru a>0 vectorul av are aceeasi directie cu v , acelasi sens si lungimea = a|v| ;
pentru a 0*v = 0 ;


Proprietatile inmultirii unui vector cu un scalar :
Fie a , ß apartin lui R , u,v = 2 vectori ;
a( ßv ) = ( aß )v ;
a( v+u ) = av + au ;
1* (v) = v ;
0* (v) = 0 ;
a 0 = 0 ;
- Daca a=-1 vectorul (-v) se numeste opusul vectorului v si se obtine din acesta pastrandu-i directia si modulul , dar schimbandu-i sensul .

Teorema : 2 vectori nenuli sunt paraleli ( sau coliniari ) daca unul se obtine din celalalt prin inmultire cu un scalar nenul .
u,v ? 0
u || v exista a apartinand lui R a.i. u = av ;

Daca A',B',C', sunt mijloacele laturilor ? ABC atunci AA'+BB'+CC'=0






Intr-un patrulater segmentul ce uneste mijloacele a doua laturi este egal cu semisuma bazelor ( EF=1/2(AB+DC));
-Daca in rel. demonstrata trecem la norme ||EF||=1/2 (||AB|+|DC||)=1/2(||AB||+||DC||);
-Egalitatea are loc vectorii AB si CD sunt coliniari si de acelasi sens AB || DC ABCD – trapez ;
-In general FE =1/2(AB+DC) – intr-un patrulater ;
-Egalitatea are loc in trapez .






Intr-un patrulater segmentul ce uneste mijloacele celor doua diagonale este egal cu semidiferenta bazelor ( MN=1/2(BC-AD));








Intr-un ? ABC , M apartine BC a.i. MB/MC=k => AM=1/(k+1)AB-k/