Modelul liniar unifactorial
Se cunosc urmãtoarele date privind încasãrile medii lunare si suprafata comercialã a 12 societãti avînd acelasi profil de activitate:
Suprafaþa comercialã (mp)
56
62
66
75
84
96
112
120
135
144
150
154
Încasãrile medii lunare (mil. lei)
5.5
5.9
6.1
6.5
7
8.2
9.8
10.1
11.2
12.3
12.9
13.1

Se cere:
sã se specifice modelul econometric ce descrie legãtura dintre cele douã variabile;
sã se estimeze parametrii modelului si sã se calculeze valorile teoretice ale variabilei endogene;
sã se verifice ipotezele de fundamentare a metodei celor mai mici pãtrate;
sã se verifice semnificaþiile estimatorilor si verosimilitatea modelului;
sã se estimeze încasãrile lunare ale unei societãti comerciale care are o suprafatã de 125 m2.
a. Pe baza datelor problemei se poate construi un model econometric unifactorial de forma:
y = f ( x ) + u
unde: - y reprezintã valorile reale ale variabilelor dependente (încasãrile medii lunare);
- x reprezintã valorile reale ale variabilelor independente (suprafata comercialã);
- u este variabila rezidualã , reprezentând influenþele celorlalti factori ai variabile y, nespecificati în model, considerati factori întâmplãtori, cu influente nesemnificative asupra variabilei y.
Analiza datelor din tabel, în raport cu procesul economic descris conduce la urmãtoarea specificare a variabilelor:
y – încasãrile medii lunare reprezentând variabila rezultativã, ale cãrei valori depind de o serie de factori: suprafata comercialã, amplasarea magazinului, publicitate, numãr de salariati, pret de vânzare, s.a.m.d.;
x – suprafata comercialã, factorul considerat cu influenta cea mai puternicã asupra variabilei y.
Specificarea unui model econometric presupune alegerea unei functii matematice cu ajutorul cãreia poate fi descrisã legãtura dintre cele douã variabile. Pentru modelul unifactorial, procedeul cel mai des folosit îl constituie reprezentarea graficã cu ajutorul corelogramei.
Cu ajutorul graficului s-au reprezentat legãturile dintre încasãrile medii lunare ale unitãtii (variabila rezultativã) si suprafata comercialã. Din grafic se poate observa cã asupra caracteristicii rezultative, pe lângã suprafata comercialã, au influentat si alti factori întrucât existã puncte aºezate fãrã nici o regularitate, influenta acestor factori întâmplãtori neidentificati se va elimina prin ajustare, adicã prin stabilirea liniei de regresie teoreticã. Între numãrul de angajati si volumul vânzãrilor existã o legãturã strânsã datoritã concentrãrii intense a frecventelor în jurul diagonalei.
Din grafic se poate observa cã distributia punctelor empirice poate fi aproximatã cu o dreaptã. Drept urmare, modelul econometric care descrie legãtura dintre cele douã variabile este un model liniar unifactorial y = a + bx + u , a si b reprezentând parametrii modelului, b > 0 , panta dreptei fiind pozitivã rezultã cã legãtura dintre cele douã variabile este directã liniarã.
a - este coeficientul care exprimã influenta factorilor neinclusi în model, considerati cu influenta constantã
b - coeficient de regresie
b. Deoarece parametrii modelului sunt necunoscuti, valorile acestora se pot estima cu ajutorul mai multor metode. Se va utiliza metoda celor mai mici pãtrate, aceasta fiind utilizatã în mod curent. Aceastã metodã porneºte de la urmatoarea relatie:

unde:
reprezintã valorile teoretice ale variabilei y obþinute numai în functie de valorile factorului esential x si valorile estimatorilor parametrilor a si b, respectiv si
estimatia valorilor variabilei reziduale.
În mod concret MCMMP constã în a minimiza functia:
Rezolvând sistemul:
vom obtine estimatorii si :

Cu ajutorul estimatiilor parametrilor se pot calcula valorile teoretice (estimate) ale variabilei endogene, , cu ajutorul relatiei:
Tabel 1.a
nr.crt
Suprafata
Incasari medii
xi2
xi*yi
Yi=0,7578+0,0794xi
(xi-
)2
(yi-
)2
ui=yi-Yi
1
56
5.5
3136
308
5.20145
2352.25
12.6025
0.29855
2
62
5.9
3844
365.8
5.677559
1806.25
9.9225
0.222441
3
66
6.1
4356
402....