Împartirea polinoamelor
1.Teorema împartirii cu rest
Fiind date doua polinoame oarecare cu coeficienti complecsi f si g cu g<>0, atunci exista doua plinoame cu coeficienti complecsi q si r a .î.
f = gq+r unde grad r < grad g (1)
În plus polinoamele q si r sunt unice satisfacând proprietatea (1)
f = deîmpartit
g = împartitor
q = cât
r = rest
Demonstratie:
1.Existenta
f = an Xn + an-1 X n-1 +………+a1 X+a0 C[x]
g= bm Xm +bm-1 X m-1 +………+b1 X +b0 C[x]
grad f = n
grad g = m
1.n < m
q = 0
f=0*g+f
2.n >= m
an / bm
an Xn / bm Xm
q1= (an / bm) * X n-m
f= ( (an / bm) * X n-m ) *g + f1 (1)
grad f1 = n1 an Xn + an-1 X n-1 +………+a1 X+a0/ : bmXm
f1= an1 Xn1 + an1-1 X n1-1 +………+a11 X+a01
Daca gr. f1 =n1
i) gr f1 < gr g STOP
ii) daca gr f1 >= gr g
f1= ( (an1 / bm) * X n1-m ) *g + f2 (2)
gr f2=n2 gr n2 gr n2>=m
f2= ( (an2 / bm) * X n2-m ) *g + f3 (3)
…………………
p pasi
p+1
fp= ( (anp / bm) * X np-m ) *g + fp+1 (p+1)
gr f p+1 f1= f - ( (an / bm) * X n-m ) *g /
f2= f1 - ( (an1 / bm) * X n1-m ) *g /
f3= f2- ( (an2 / bm) * X n2-m ) *g / +
…………………………………. /
f p+1= f p - ((anp / bm) * X np-m) *g /
-----------------------------------------------------------
f p+1 = f - g ((an / bm) * X n-m + (an1 / bm) * X n1-m +…….+
(anp / bm) * X np-m )
f = fp+1 +g ((an / bm) * X n-m + (an1 / bm) * X n1-m +…….+
(anp / bm) * X np-m )
q = ((an / bm) * X n-m + (an1 / bm) * X n1-m +…….+
(anp / bm) * X np-m )
r = f p+1
Gr f p+1< m
...