Legi de conservare într-o problema fara constrângeri

Lasând deoparte constrângerea (2), vom relua problema de maximizare a integralei:
(1)


Aceasta problema poate fi privita ca un caz particular
Pe baza acestui fapt, teoremele din sectiunea precedenta
(3)(
.
Teorema 1(. Pentru Lagrangianul (3)(, fie si ce satisfac ecuatiile:
(7)(
,
pe o cale optimala pentru problema de maximizare a (1). Atunci cantitatea conservata ( este data de:
(8)(
.
Teorema 2(. Pentru Lagrangianul (3)(, fie ce satisface ecuatiile (7)( pe o cale optimala pentru problema de maximizare a(1). Atunci cantitatea conservata ( este data de:
(10)(
.
Teorema 3(. În Lagrangianul (3)(, fie functia omogena de grad r în raport cu si . Atunci exista urmatoarea cantitate conservata pentru problama de maximizare a (1):
(15)(
.

Pentru Lagrangianul de forma (3)(, vom defini un Hamiltonian modificat (H fiind Hamiltonianul uzual):

,
unde r este gradul de omogenitate al lui U. Atunci cantitatea conservata (15)( este scrisa , unde , care va fi redusa la o cantitate conservata ma târziu.
Teorema 4(. În Lagrngianul (3)(, fie functia omogena de grad r în raport cu si .Atunci exista urmatoarele doua cantitati conservate pentru problema de maximizare a(1):
(19)(
,
(20)(
.







Noi legi de conservare în modelele de crestere economica



Teoremele stabilite în sectiunea precedenta pot fi aplicate efectiv pentru derivarea unor noi legi de conservare în câteva modele de crestere economica.
O generalizare a modelului de crestere de tipul von Neumann.
Prima aplicatie este data de n mijloace fixe si n mijloace de formare a capitalului fix . Deci în teorema 1, datorita teoremei 4, si sunt privite respectiv ca o functie de utilitate omogena de grad r si o functie de transformare omogena de gradul întâi, în raport cu si , si ( este rata de scont constanta.
În aceasta situatie, cantitatea conservata (15) se transforma