Cuprins


1. Phi si phi – Proportia divinã.

2. Despre numãrul de aur (Phi si phi)

3. Numãrul de aur si Fibonacci 3

4. Reprezentare graficã – dreptunghiuri de aur.

5. Alte siruri care tind la Phi

6. Câteva curiozitãti despre Phi ai phi

7. Anexa nr. 1.

8. Reprezentarea graficã.

9. Anexa nr. 2.

10. Programul sursã C++ ce creeazã reprezentarea graficã (din anexa 1)

11. Anexa nr. 3.

12. Numãrul Phi cu 20.000 de zecimale.

13. Bibliografie.








Despre numãrul de aur (Phi si phi)


Sã începem cu o problemã de esteticã. Sã considerãm un segment de dreaptã. Care este cea mai „plãcutã” împãrtire a acestui segment în douã pãrti ? Unii ar spune cã în douã jumãtãti, altii ar spune cã în proportie de 3:1

Grecii antici au gãsit un rãspuns pe care ei îl considerau corect (teoreticienii îl numesc „simetrie dinamicã”). Dacã pãrtii stângi a segmentului îi atribuim lungimea u=1, atunci partea dreaptã va avea o lungime v=0,618… Despre un segment partitionat astfel spunem cã este împãrtit în Sectiunea (sau Proportia, Diviziunea) de aur (divinã).

Care este justificatia pentru înzestrarea acestei proportii particulare cu un asemenea statut aparte ? Ideea este cã lungimea u reprezintã aceeasi parte din tot segmentul (u+v) cât reprezintã lungimea v din partea u. Cu alte cuvinte:


Dacã notãm ?=u/v, vom rezolva ecuatia pentru ?, observând cã :


Rãdãcina pozitivã a ecuatiei, care se poate scrie

?2 - ? – 1 = 0

este :
o constantã care este numitã Numãrul de aur sau Proportia divinã.

Dacã presupunem u=1, atunci

, cum am presupus mai devreme. Notãm numãrul v = 0.6180339887… = ? (phi).


Numãrul de aur si Fibonacci


Afirmãm cã numãrul nostru Phi este strâns legat de sirul lui Fibonacci. Pentru cei care nu stiu, sirul lui Fibonacci este definit prin :

f0=0; f1=1; fn= f0+ f1 (oricare n32).

Acest sir exprimã (într-un mod naiv) cresterea populatiei